初中数学思维
数学思维是人们能够用数学的观点去思考问题和解决问题的过程[1]。这个全过程是：观察客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型[2]。
数学思维方式有归纳、类比、演绎、发散联想，逆向思维等[2]。
归纳
归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、计算……）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理[2]。
归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维[2]。
也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、……的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算，然后归纳出其共性和本质的东西[2]。
例如，
类比
类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）[2]。
类比思维是一种或然性极大的逻辑思维方式，它的创造性表现在发明创造活动中人们能够通过类比已有事物开启创造未知事物的发明思路，其中隐含有触类旁通的涵义。它把己有的事和物与一些表面看来与之毫不相于的事和物联系起来，寻找创新的目标和解决的方法[2]。
发明创造中的类比思维，不受通常的推理模式的束缚，具有很大灵活性和多样性。在发明创造活动中常见的形式有：形式类比、功能类比和幻想类比等多种类型[2]。
形式类比包括形象特征、结构特征和运动特征等几个方面的类比，不论哪个形式都依赖于创造目标与某一装置或客体在某些方面的相似关系[2]。
如飞机与鸟类、飞机与蜻蜒，由鸟的飞行运动制成了飞机，飞机高速飞行时机翼产生强烈振动，有人根据蜻蜒羽翅的减振结构设计了飞机的减振装置。人类根据海豚的外形设计潜艇等都是类比的结果[2]。
功能类比是根据人们的某种愿望或需要类比某种自然物或人工物的功能，提出创造具有近似功能的新装置的发明方案，这种方法特别在仿生学研究上有广泛应用，例如各种机械手、鳄鱼夹等[2]。
演绎
演绎，从一个一般性的陈述或假设开始，检验得出一个具体的逻辑结论的可能性[3]。
演绎推理通常遵循以下步骤。首先，有一个前提，然后是第二个前提，最后是一个推论。演绎推理的一种常见形式是三段论，通过两种陈述——大前提和小前提——来得出逻辑结论。例如，前提“每一个A都是B”后面可以跟着另一个前提“这个C是A”。由这两个陈述会得出结论“这个C是B”。三段论被认为是检验演绎推理以确保论点有效的好方法[3]。
例如，“所有的人都是凡人。哈罗德是人。因此，哈罗德是凡人。”要使演绎推理合理，假设必须是正确的。假设前提“所有人都是凡人”和“哈罗德是人”是正确的。那么，结论便合乎逻辑和正确。在演绎推理中，如果某东西对某一类事物总是正确的，那么对该类的所有成员也是正确的[3]。
发散联想
逆向思维
逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题[2]。
当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维[2]。
逆向性思维在各种领域、各种活动中都有适用性，由于对立统一规律是普遍适用的，而对立统一的形式又是多种多样的，有一种对立统一的形式，相应地就有一种逆向思维的角度，所以，逆向思维也有无限多种形式[2]。
如性质上对立两极的转换：软与硬、高与低等；结构、位置上的互换、颠倒：上与下、左与右等；过程上的逆转：气态变液态或液态变气态、电转为磁或磁转为电等。不论那种方式，只要从一个方面想到与之对立的另一方面，都是逆向思维[2]。
数学思想
在初中阶段，利用这些数学思维方式总结出的数学思想主要有转化，数形结合和建模。
转化
转化的思想是[5]：
- 将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题；
- 将抽象的问题转为具体的和直观的问题；
- 将复杂的转为简单的问题；
- 将一般的转为特殊的问题；
- 将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
转化的内涵非常丰富，等价转化和非等价转化、已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机[5]。
在初中阶段，转化思想可以解决什么问题[5]？
①直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
②换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；
③数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径；
④等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；
⑤特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题；
⑥构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
⑦坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。
数形结合
现实世界中数量和空间结合起来思考问题。
在初中阶段，数形结合思想可以解决了什么问题？集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、向量问题、数列问题、线性规划问题、解析几何问题、立体几何问题、绝对值问题[4]。
建模
建模思想是总结数学与现实的关系。数学是为生活服务的，是为了解决现实生活中所存在的问题。也就是说，你看到的每一道数学题，其实就是一个现实生活中的问题，只是这个问题使用数学语言进行了描述。
模型是利用一定的比例把现实东西的样子缩小，例如机模型、轮船模型、坦克模型、汽车模型。
初中阶段，常见的大概有23种模型[6]：
三线八角
拐角模型
等积变换模型
八字模型
飞镖模型
内内角平分模型
内外角平分模型
外外角平分模型
平行平分出等腰模型
等面积模型
倍长中线模型
角分线构造全等模型
三垂模型
手拉手模型
半角模型
将军饮马模型
费马点模型
中位线模型
斜边中线模型
平移构造全等
对称构造全等
射影定理模型
相似八大模型
二次函数中等积变换模型
二次函数中线段最值模型
二次函数中面积最值模型
二次函数中等腰三角形存在性模型
二次函数中直角三角形存在性模型
二次函数中平行四边形存在性模型
初中数学思维训练
