首先要懂得圆的定义，要记住，才能在题目中灵活运用。
一、圆及圆的相关量的定义：
1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示方法
圆；半径；弧；直径；扇形弧长/圆锥母线： l ；周长：C 面积：S.
三、有关圆的基本性质与定理:
1.点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）： P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
【需证】平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
4.三量关系定理：在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2条弧，2条弦（弦所对的优弧、劣弧分别相等）中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6.圆周角定理推论：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。
7.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆的圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。
8.直线AB与圆O的位置关系（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
9.切线长定理:
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。
（2）切线长定理：∵ PA、PB切⊙O于点 A、B∴ （1）PA=PB，（2）∠1=∠2。
10.【判定圆的切线的方法】圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
（1）切点不明确：作垂直，证半径：当d=r时，直线是圆的切线。
（2）切点明确：连半径，证垂直：经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
四、有关圆的计算公式
1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr²
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl
五、【补充性质及定理】
1.夹在平行线间的两条弧相等。
2.弦切角定理。
3.相交弦定理。圆的两条弦AB与CD相交于点P，则PA•PB=PC•PD。
4.切割线定理。则 PA2 =PB•PC。
第二部分：圆中常见的辅助线添加
1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）:
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：
① 利用垂径定理
② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系
③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量
2. 遇到有直径时：
常常添加（画）直径所对的圆周角；
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形
3. 遇到90度的圆周角时：
常常连结两条弦没有公共点的另一端点
作用：利用圆周角的性质，可得到直径
4. 遇到弦时：
常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点
作用：
①可得等腰三角形
②据圆周角的性质可得相等的圆周角
5. 遇到有切线时：
常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）
作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形
常常添加连结圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6. 遇到证明某一直线是圆的切线时：
（1） 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线
（2） 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
作用：只需证OA⊥l，则l为切线
7. 遇到两相交切线时（切线长）：
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点
作用：据切线长及其它性质，可得到
① 角、线段的等量关系
② 垂直关系
③ 全等、相似三角形
8. 遇到三角形的内切圆时：
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
作用：利用内心的性质，可得
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线
② 内心到三角形三条边的距离相等
9. 遇到三角形的外接圆时：
连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
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下面是小优整理的解决与圆有关的几何题，常常需要添加辅助线，以沟通已知与未知的联系，为使用定理创造条件，但是，如何添加圆内辅助线，是解决圆的一大难点，下面结合例题谈一谈圆内添加辅助线的基本方法。
根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等。
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方法一：切点已知，作半径，证垂直
已知切点（该点在未确定前不能称之为切点），即当直线与圆有公共点时，选择作半径，即连接圆心与该公共点，证明垂直，常见证明垂直的思路有三种。
第一种思路：利用勾股定理的逆定理证明垂直
例题1：如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC=8，PB=4，AB=12，求证：PC是⊙O的切线．
分析：证明直线PC为圆O的切线，已知点C在圆上，即切点已知，可连接OC，证明OC⊥PC。根据已知数据可以得到PC=8，OC=6，PO=10，利用勾股定理的逆定理证明∠OCP=90°。
连接BC，OC，AC，证△PCB∽△PAC，推出∠PCB=∠A=∠ACO，∠CBA=∠OCB，根据圆周角定理求出∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，推出∠OCP=90°，根据切线的判定推出即可．
本题可借助勾股定理逆定理或者相似三角形证明垂直，再根据切线的定义进行判定。
第二种思路：利用全等证明垂直
例题2：如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．求证：PB是⊙O的切线.
分析：要证明PB是切线，已知“交⊙O于点B”，即切点已知，可作半径，证垂直，即连接OB，可通过证明△POB≌△POA得到。
第三种思路：利用两个锐角互余证明垂直
例题3：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，连接OD并延长，交BC延长线于点F．求证：DE是⊙O的切线
分析：求证DE是切线，已知“以AB为直径作⊙O交AC于点D”，即切点已知，可作半径，证垂直，证明∠ODE=90°。
这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三种思路。
方法二：切点未知，作垂直，证半径
当切点未知时，选择作半径，即过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径。
例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．求证：AB是半圆O所在圆的切线
分析：要证明直线AB为圆的切线，切点未知，应该过点O作直线AB的垂线，证明其等于半径。
