一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。在初中阶段，常考的类型主要分为5类。今天我们就来学习下这5个类型的应用题。
一、百分率变化问题
增长率的问题在实际生活普遍存在，有一定的模式，若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)=b。在解题过程需要注意总量和增长后达到的量的区别，需要注意“增长了”和“增长到”的区别。
二、传播问题
“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播。解决此类问题的关键步骤是明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。需要注意的是疾病传播问题和某种植物分支的区别和联系，疾病传播问题中传染源将参与下一轮传播，而树分支则是树干不参与下一次分支。
三、互送礼物和单循环比赛问题
n(n≥2) 个人之间互送礼物，礼物总数=n(n-1)；n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行1/2n(n-1)场比赛。
四、商品销售利润与定价问题
用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润。用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”。每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润。每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息。
五、几何图形面积问题
几何图形的面积问题常见的有两个类型，一个是已知周长求矩形面积，这类问题设长或者宽为未知数，把另外一边用含未知数的式子表示出来，再根据矩形的面积公式建立方程；另一类就是在矩形花园内修路，这类题常常通过平移构造新矩形，表示出新矩形的长和宽，再根据面积公式列方程。
六、动点几何面积问题
动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题。解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。
通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
--------------------------------------------------------------------------------------------一、解一元二次方程的基本思想——降次
我们学过一元一次方程的解法，那一元二次方程能否转化为一元一次方程呢？如果能，那应该怎样转化呢？
把“二次”转化为“一次”，在数学上叫做“降次”，解一元二次方程的几本数学思想就是“降次”。
那如何降次呢？不妨从一些特例入手。
x^2=9，则x=3或x=-3
x^2=9中x的次数是2，x=3或x=-3中x的次数都是1，这就是一个简单的降次。
再稍复杂些，把x换成一个多项式
(x+5)^2=9，把x+5看成一个整体，则x+5=3或x+5=-3，进而可得x=-2或x=-8.
对于一般的一元二次方程，如果能写成(mx+n)^2=p的形式，问题便迎刃而解。
二、利用完全平方公式来配方
把任意的一元二次方程转化为(mx+n)^2=p的形式，就叫做配方。
由完全平方公式知，只要知道二次项和一次项就可以通过添加合适的常数项配成完全平方的形式，即已知a^2和2ab来确定b^2。为了进一步简化配方的难度，通常先把二次项系数化为1，这样常数项=一次项系数除以2的平方。
下面看几个具体例子
注意：①配方第一步最好写成平方的形式，可以减少配方第二步的出错率；
②初学者建议把倒数第二步写上，可以减少出错率。
注意：最后一句话不能改为原方程无解，因为只是在实数范围内无解，高中学习虚数以后它是有解的。
注意：①移项前要先观察，如果已经能配成完全平方，则无需移项；
②最后结果不能写成x=2，两种理解：Ⅰ 、人为规定为两个相等的实数根，与两个不等的实数根相对应；Ⅱ、（x+2）^2写开后是两个x+2相乘，两个因式相乘，任意一个因式为0都可以解出一个根，因为两个因式相同，所以称两个相等的实数根。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------一元二次方程的揭发除了基本解法外还有5种解法。
基本解法
解一元二次方程的基本思路通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程求解。
1.直接开平方法
对形如(x+a）2 =b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2 ＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2 =b的形式；
⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解。
关键：配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
3.公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2 －4ac≥0)。
步骤：
①把方程转化为一般形式；
②确定a，b，c的值；
③求出b2 －4ac的值，当b2 －4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法
用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5.图像解法
一元二次方程的根的几何意义是二次函数的图像（为一条抛物线）与x轴交点的X坐标。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
对于一元二次方程
的根的判别式是
（1）当》0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当《时，方程无实数根；
温馨提示：若方程有实数根，则有
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